1 Alkuins propositiones ad acuendos juvenes

1 Nøtter og hjernetrim ved Karl den stores hoff: Alkuins propositiones ad acuendos juvenes, «problemer for å skjerpe de unge» 

Propositiones Alcuini doctoris Caroli Magni imperatoris ad acuendos iuvenes, «Alkuins, keiser Karl den stores lærers, problemer for å skjerpe de unge», er en av de eldste kjente samlingene med matematiske problemer. For eksempel ser vi her et tidlig eksempel på «elvekryssingsproblemet» (nr. 17-18). 

Alkuin (735-804), munk, poet og Karl den stores lærer, regnes som forfatter, og i så fall kan teksten ha vært i bruk i frankisk eliteskole. Problemene gir øvelse i både regning og latin, noe elevene ville nytte av i sine karrierer i kirke og administrasjon. Under er nr. 1, 4, 11, 12, 13, 14, 17 og 18. 

Tekst fra: thelatinlibrary.com/alcuin/propos (lest 27.11.19)

I. PROPOSITIO DE LIMACE. 

Limax fuit ab hirundine invitatus ad prandium infra leucam unam. In die autem non potuit plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot diebus ad idem prandium ipse limax perambulat? 

Gloser

leuca,ae f leuca (lengdemål, ca 2,25 km)
pes, dis m fot (lengdemål, ca 296 mm)
uncia,ae f pedis unse (lengdemål, ca 25 mm)
idem, eadem, idem, den samme, her: denne, dette
(12 unciae = 1 pes. 5 pedes = 1 passus eller ‘dobbeltskritt’)

Grammatikk

ipse,a,um: i klassisk latin ‘selv’, i middelalderlatin ofte: ‘han, hun, den, det’

I. Snegleproblemet

Sneglen var invitert av svalen til et måltid en leuca unna. Om dagen klarte den ikke å gå mer enn en unse av en fot. Si, den som kan, i hvor mange dager går sneglen til dette måltidet? 

I. Sequitur solutio de limace. 

In leuca una sunt mille quingenti passus; VII pedes, XC unciae. Quot unciae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI, et dies CCX. 

I. Her kommer løsningen om sneglen

I en leuca er det 1500 skritt, sju fot og 90 unser. Det er like mange dager som det er unser, som utgjør 246 år og  210 dager. 

(Eller: Hvor mange unser er distansen? 1500 skritt ganget med 5 ganget med 12 = 90 000 + 35 + 90 = 90125 unser delt på 365,25 = 246,75 år.) 

IV. PROPOSITIO DE HOMINE ET EQUIS. 

Quidam homo vidit equos pascentes in campo, optavit dicens: Utinam essetis mei, et essetis alii tantum, et medietas medietatis; certe gloriarer super equos C. Discernat, qui vult, quot equos imprimis vidt ille homo pascentes? 

Glose

medietas,atis f halvdel

IV. Problemet med mannen og hestene 

En mann så noen hester beite på et jorde, og sa et ønske: Å, om dere var mine, og var dobbelt så mange, pluss halvdelen av halvdelen, så kunne jeg briske meg med hundre hester. Avgjør, den som vil, hvor mange hester den mannen først så beite? 

IV. Solutio de equis. 

XL equi erant, qui pascebant. Alii tantum fiunt LXXX. Medietas medietatis hujus, id est, XX, si addatur, fiunt C. 

IV. Løsning om hestene. 

Det var XL hester som beitet. Dobbelt så mange blir LXXX. Halvparten av halvparten av det er XX, og hvis det legges til blir det C. 

XI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS SORORES ACCIPIENTIBUS. 

Si duo homines ad invicem, alter alterius sororem in conjugium sumpserit; dic, rogo, qua propinquitate filii eorum pertineant? 

XI. Problemet med de to mennene som fikk søstre som koner 

Hvis det var to menn og begge tok den andres søster til ekte, si, vær så snill, hvordan barna deres er i slekt? 

XI. Solutio ejusdem. 

Verbi gratia: si ego accipiam sororem socii mei, et ille meam, et ex nobis procreentur filii; ego denique sum patruus filii sororis meae; et illa amita filii mei. Et ea propinquitate sibi invecem pertinent. 

XI. Løsning på samme. 

For eksempel: Hvis jeg skulle få min venns søster, og han min, og vi avlet barn, da ville jeg være onkelen til barnet til min søster, og hun tante til mitt barn. Og de er i slekt på samme måte. 

XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EJUS. 

Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo. 

XII. Problemet med gårdbrukeren og de tre sønnene 

Faren i en familie døde og etterlot til de tre sønnene sine tretti glassflasker i arv, av dem var ti fulle av olje. Ti andre var halvfulle, og den tredje delen tomme. Fordel, den som kan, olje og flasker, slik at hver av de tre sønnene får likt av både glass og olje. 

XII. Solutio. 

Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro. 

XII. Løsning. 

Det er altså III sønner, og XXX flasker. Og av flaskene er X fulle, X halvfulle og X tomme. Gang III med X, det blir XXX. Hver sønn får sin del på X flasker. Del på tre, det vil si, gi den første sønnen X halvfulle flasker, så til den andre V fulle og V tomme. Det samme gir du til den tredje, og det blir lik fordeling mellom de tre brødrene når det gjelder både olje og glass. 

XIII. PROPOSITIO DE REGE. 

Quidam rex iussit famulo suo colligere de XXX villis exercitum, eo modo ut ex unaquaque villa tot homines sumeret quotquot illuc adduxisset. Ipse tamen ad villam primam solus venit; ad secundam cum altero; iam ad tertiam tres venerunt. Dicat, qui potest, quot homines fuissent collecti de XXX villis. 

Grammatikk

Avhengig spørresetning er en leddsetning, oversett «var». vanligvis med syntaktisk funksjon som DO. Subjunksjon er et spørreord, for eksempel quis, ‘hvem’, eller ubi, ‘hvor’, og leddsetningen skal ha konjunktiv. 

XIII. Kongens problem 

Em konge ba tjeneren sin om å samle en hær fra tretti gårder, på slik måte at han fra hver gård tok med like mange som han hadde ført med seg dit. Men han kom til den første gården alene, til den andre i selskap med en annen, og til den tredje kom de tre. Si, den som kan, hvor mange menn som ble samlet fra de tretti gårdene. 

XIII. Solutio. 

In prima igitur mansione duo fuerunt; in secunda IIII, in tertia VIII, in quarta XVI, in quinta XXXII, in sexta LXIIII, in septima CXXVIII, in octava CCLVI, in nona DXII, in decima ¨I XXIIII, in undecima II XLVIII, in duodecima IIIIXCVI, in quarta decima XVI CCCLXXXIIII. In quinta decima XXXII DCCLXVIII, etc. 

XIII. Løsning. 

På den første gården var de altså II, på den andre IIII, den tredje VIII, den fjerde XVI, den femte XXXII, den sjette LXIIII, den sjuende CXXVIII, den åttende CCLVI, den niende DXII, den tiende I XXIIII, in undecima II XLVIII, den tolvte IIII XCVI, den fjortende XVI CCCLXXXIIII, i den femtende XXXII DCCLXVIII, osv. 

XIV. PROPOSITIO DE BOVE. 

Bos qui tota die arat, quot vestigia faciat in ultima riga? 

XIV. Oksens problem 

En okse pløyer hele dagen. Hvor mange fotavtrykk setter den i den siste raden?

XIV. Solutio. 

Nullum omnino vestigium facit bos in ultima riga, eo quod ipse praecedit aratrum, et hunc aratrum sequitur. Quotquot enim hic praecedendo in exculta terra vestigia figit, tot ille subsequens excolendo resolvit. Propterea illius nullum reperitur vestigium in ultima riga. 

XIV. Løsning. 

Oksen lager ikke noe spor i den siste raden, fordi den går foran plogen, og plogen følger den. Alle sporene den setter når den går foran i plogfuren, de visker den som kommer etter og pløyer. Derfor finnes ikke noe spor av den i den siste raden. 

XVII. PROPOSITIO DE TRIBUS FRATRIBUS SINGULAS HABENTIBUS SORORES. 

Tres fratres erant qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant (erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui), qui venientes ad fluvium non invenerunt nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit? 

XVII. Problemet med de tre brødrene som var gift med hver sin søster 

Det var tre brødre som var gift med hver sin søster, og skulle krysse en elv (og hver av dem hadde et godt øye til den nestes søster), men når de kom til elven fant de bare en liten båt, som ikke mer enn to av dem kunne krysse over i. Si, den som kan, hvordan de krysset elva, uten at noen av de tre søstrene ble krenket? 

XVII. Solutio. 

Primo omninum ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad littus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea, intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio. 

Grammatikk

transfretassemus = transfretavissemus, intrassent = intravissent (sammentrukket form i pluskvamperfektum konjunktiv)

transfretato fluvio, illis … feminis … egressis, illa egrediente, sorore mea remanente, nullo maculante contagio: absolutt ablativ. Oversett: «da elva var krysset», «da de kvinnene hadde gått ut», «da hun gikk ut», «da min søster ble igjen», «uten at noen urenhet gjorde uren».

XVII. Løsning. 

Først av alle ville jeg og søsteren min ha gått om bord i båten og satt over til den andre siden. Da vi hadde krysset elven ville jeg ha satt søsteren min av båten, og ført båten tilbake til bredden. Da ville søstrene til de to mennene gått om bord, altså til de som var blitt igjen på stranda. Og da disse kvinnene hadde gått ut av båten, ville min søster gått inn, og ført båten tilbake til oss. Da hun hadde gått ut, ville de to brødrene gått inn i båten, og kommet til den andre siden. Da ville den ene av dem ha gått i båten med sin søster og krysset over til oss. Og jeg og han som hadde krysset over ville ha dratt til den andre siden, mens min søster ble igjen og ventet. Da vi hadde kommet til stranda, kunne hvem som helst av de to kvinnene ført båten tilbake og tatt min søster om bord og de kunne kommet sammen til oss på den andre siden. Og han som hadde en søster som var blitt igjen på den andre siden, kunne ha gått i båten og tatt henne med seg. Og overfarten ville skje uten krenkelse eller usømmelighet. 

XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LUPO. 

Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum, capram, et fasciculum caulis. Et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit. 

Grammatikk

eis illaesis: absolutt ablativ. Oversett: «uten å skade dem».

XVIII. Problemet med mannen og geiten og ulven 

En mann skulle frakte en ulv, en geit og en bunt kål over en elv. Og han kunne ikke finne annen båt enn en som bare kunne føre to av dem. Men han hadde fått beskjed om å føre dem alle uskadd over. Si, den som kan, hvordan de krysset elva uten at noen kom til skade. 

XVIII. Solutio. 

Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde venirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram navi receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transveherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque voragine lacerationis. 

Grammatikk

lupo misso: absolutt ablativ. «da ulven var sluppet av»

XVIII. Løsning. 

Og på samme måte ville jeg først ta med geiten, og la ulven og kålen være. Så ville jeg komme og føre over ulven, da jeg hadde sluppet av ulven ville jeg ta om bord geiten og føre den til den andre siden, da jeg hadde sluppet  av geiten ville jeg føre kålen over til den andre siden; og jeg ville ha rodd tilbake igjen og tatt om bord geita og ført den til den andre siden. Og ved å gjøre det slik ville båtturen være sikker, uten svinn og ødeleggelse.